本发明属于涉及齿轮传动技术领域，具体是一种锥形面齿轮副及设计方法
背景技术：
近年来，美国国家航空航天局对采用面齿轮分扭的直升机传动系统进行了升级，新系统采用面齿轮同轴分扭构型，省略了圆柱齿轮汇流，用面齿轮取代。全新分扭技术的应用使新型传动系统功重比提高40％，噪声降低15db。为了保证同轴面齿轮分扭构型的高效运行，不同分扭支路惰轮之间传递的载荷应大致相当。如果各支路之间面齿轮副的齿侧间隙差异过大，将导致不同支路的载荷差异过大，严重影响分扭效果。因此，同轴面齿轮分扭构型对面齿轮副齿侧间隙调整提出了新挑战。发展一种能够应对面齿轮同轴分扭构型应用场景，实现不同惰轮支路面齿轮副齿侧间隙独立调整而不影响其他支路齿侧间隙的面齿轮副，对面齿轮同轴分扭构型的成功高效地应用至关重要。
本发明解决的技术问题是：为了解决现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种锥形面齿轮副及设计方法。
本发明的技术方案是：一种锥形面齿轮副，包括锥形渐开线齿轮和锥形面齿轮，其中的锥形面齿轮是由锥形渐开线齿轮刀具展成的。
本发明的进一步技术方案是：所述锥形渐开线齿轮包括与锥形面齿轮啮合的锥形渐开线小齿轮和展成锥形面齿轮所使用的锥形渐开线齿轮刀具。
本发明的进一步技术方案是：所述锥形渐开线齿轮的展成过程：将齿轮齿顶外轮廓由圆柱体改为半锥角为δ的圆台，并且将齿条刀具以节平面上垂直于齿轮轴线的直线为中心轴旋转，旋转后要保证齿条节平面与齿轮轴线的夹角也是δ，即可通过展成运动获得半锥角为δ的锥形渐开线齿轮齿面。
本发明的进一步技术方案是：所述锥形面齿轮的展成过程：锥形渐开线齿轮刀具绕自身轴线以ωs的角速度转动，锥形面齿轮绕自身轴线以ω2角速度转动，两者之间的角速度比值关系为ωs/ω2＝n2/ns，其中n2为锥形面齿轮齿数，ns为锥形渐开线齿轮刀具齿数，即可共轭展成可以与锥形渐开线小齿轮齿面配对啮合的锥形面齿轮齿面。
本发明的进一步技术方案是：一种锥形面齿轮副的设计方法，包括以下步骤：
步骤一：确定锥形渐开线齿轮齿面方程和啮合方程，包括以下子步骤：
子步骤一：定义标准斜齿条刀具齿面方程；
rri(ui,li)＝mrb(li)mbarai(ui)
式中：
ui——标准斜齿条刀具齿廓参数；
li——标准斜齿条刀具齿向参数；
rai(ui)——a点在坐标系sa中的表示；
mrb(li)——从坐标系sb到sr的坐标转换矩阵；
mba——从坐标系sa到sb的坐标转换矩阵。
子步骤二：依据齿条与锥形渐开线齿轮的运动关系，建立齿条展成锥形渐开线齿轮的坐标系；坐标系sr和sd从属于齿条刀具。其中，sr是齿条自身坐标系，sd是齿条刀具辅助坐标系，是将坐标系sr沿xr轴逆时针转动角度δ形成的，坐标原点od与坐标系sr的原点or重合。同样地，锥形渐开线齿轮也拥有两个坐标系：se和si(i＝p,s；分别表示锥形渐开线小齿轮和锥形渐开线齿轮刀具)。坐标系se固定于锥形渐开线齿轮上，不随齿条刀具和锥形渐开线齿轮的展成运动而动。坐标系si是锥形渐开线齿轮随动坐标系，是将坐标系se沿坐标轴ze逆时针转动ψi角度形成的。展成时，齿条刀具沿坐标轴xr以速度vr作平移运动，锥形渐开线齿轮以角速度ωi沿ze旋转。
子步骤三：确定斜齿条刀具与锥形渐开线齿轮的啮合方程：
式中：
nri——齿条刀具单位法向量；
vr(ri)(ui,li,ψi)——齿条刀具和锥形渐开线齿轮接触点相对滑移速度在坐标系sr中的表示；
ψi——锥形渐开线齿轮转角(i＝p)，锥形渐开线齿轮刀具转角(i＝s)。
子步骤四：分别确定锥形渐开线齿轮的工作齿面方程和过渡曲面方程：
工作齿面方程：
式中：
mie(ψi)——从固定坐标系se到齿轮坐标系si的坐标转换矩阵；
med——从辅助坐标系sd到固定坐标系se的坐标转换矩阵；
mdr——从齿条坐标系sr到辅助坐标系sd的坐标转换矩阵；
rri(ui,li)——标准斜齿条刀具齿面方程；
fri(ui,li,ψi)＝0——齿条刀具和锥形渐开线齿轮之间的啮合方程。
过渡曲面方程：
式中：
rri′(α′,li)——齿条刀具齿顶圆弧的位置向量；
nri′(α′)——齿条刀具齿顶圆弧的单位法向量；
fri(α′,li,ψi)＝0——齿条刀具和锥形渐开线齿轮之间的啮合方程；
vr(ri)(α′,li,ψi)——齿条刀具和锥形渐开线齿轮接触点相对滑移速度在坐标系sr中的表示；
α′——齿条刀具齿顶圆弧上点a′的角度参数。
步骤二：确定锥形渐开线齿轮齿宽限制条件，锥形渐开线齿轮的极限齿宽为bp＝bu bs，bu为小端极限齿宽，bs为大端极限齿宽；
步骤三：确定锥形面齿轮齿面方程和啮合方程，包括以下子步骤：
子步骤一：建立锥形面齿轮展成坐标系：坐标系se和ss是锥形渐开线齿轮坐标系，其中ss随齿轮转动，se空间固定。坐标系sm和s2是锥形面齿轮坐标系，s2随锥形面齿轮转动，sm在空间中固定。se和sm也可以视为用于坐标转换的辅助坐标系。点h是坐标轴oe-ye与锥形面齿轮齿顶圆锥的交点。锥形面齿轮的内、外半径l1和l2均定义在锥形面齿轮齿顶圆锥上。角γ是锥形渐开线齿轮刀具与锥形面齿轮的轴交角。γm是轴交角γ的补交，当γm δ>90°时，所展成的是外锥面齿轮；γm δ<90°时，展成的是内锥面齿轮；γm δ＝90°时，锥形面齿轮齿顶圆锥变成平面。
子步骤二：确定锥形渐开线齿轮刀具与锥形面齿轮的啮合方程：
式中：
ns(ls,ψs)——锥形渐开线齿轮齿面单位法向量；
vs(s2)(us,ls,ψs)——齿轮刀具和锥形面齿轮在接触点的相对滑移速度在坐标系ss下的表示。
子步骤三：分别确定锥形面齿轮工作齿面方程和过渡曲面方程：
工作齿面方程：
式中：
m2m(ψ2)——坐标系sm到s2的坐标转换矩阵；
mme——坐标系se到sm的坐标转换矩阵；
mes(ψs)——坐标系ss到se的坐标转换矩阵；
rs(us,ls)——将啮合方程考虑在内的锥形渐开线齿轮齿面方程；
过渡曲面方程：
式中：
afs——锥形渐开线齿轮刀具齿顶高，通常取1.25mn；
xn(s)，yn(s)——锥形渐开线齿轮刀具在坐标系sn下的位置矢量rn(s)的x,y分量；
δ——锥形渐开线齿轮刀具半锥角；
rps——锥形渐开线齿轮刀具节圆半径。
步骤四：确定锥形面齿轮的有效齿宽w＝l2-l1，其中l2为锥形面齿轮最大内半径，l1为锥形面齿轮最小内半径；
步骤五：建立锥形面齿轮副三维模型，通过编程求解获得的锥形渐开线齿轮单齿齿面点和锥形面齿轮单齿齿面点，将齿面点导入建模软件进行实体建模，从而得到锥形面齿轮副模型。
发明效果
本发明的技术效果在于：本发明将变齿厚锥形渐开线齿轮引入面齿轮副，再以锥形渐开线齿轮为刀具共轭展成锥形面齿轮齿面，构成一种锥形面齿轮副。锥形面齿轮副具有可以通过调整锥形渐开线小齿轮轴向安装位移改变锥形面齿轮副齿侧间隙的优点，如图10所示锥形面齿轮副，锥形渐开线齿轮沿自身轴向远离锥形面齿轮轴心，则锥形面齿轮副齿侧间隙增大，否则减小。本发明的锥形面齿轮副不仅有传统面齿轮的系列优点，如大传动比、高重合度、对安装误差不敏感以及优异的分扭性能等，还可以通过调整锥形渐开线齿轮轴向安装位移改变锥形面齿轮副齿侧间隙。本发明可用于改善面齿轮同轴分扭构型不同支路的均载问题，在航空领域有良好的应用前景。本发明确定的齿面几何理论适用于正交/非正交、直齿/斜齿锥形面齿轮副。
附图说明
图1标准斜齿条刀具及其坐标系
图2标准斜齿条刀具齿顶圆弧
图3齿条展成锥形渐开线齿轮坐标系
图4锥形渐开线齿轮齿面构成
图5锥形渐开线齿轮齿面奇异性示意
图6锥形面齿轮展成坐标系
图7锥形渐开线齿轮刀具齿顶辅助坐标系
图8锥形面齿轮齿宽限制条件及对应极限半径
图9锥形面齿轮根切内径计算辅助坐标系
图10基于齿面点建立的锥形面齿轮副三维模型
具体实施方式
参见图1—图10,一种锥形面齿轮副，其特征在于：锥形面齿轮副是由锥形渐开线齿轮和锥形面齿轮组成的锥形面齿轮传动副，其中的锥形面齿轮是由锥形渐开线齿轮刀具展成的。
锥形渐开线齿轮的展成过程：已知圆柱渐开线齿轮可以由齿条刀具展成。圆柱渐开线齿轮的齿顶轮廓是圆柱体，齿条刀具节平面与圆柱渐开线齿轮的轴线平行。将齿轮齿顶外轮廓由圆柱体改为半锥角为δ的圆台，并且将齿条刀具以节平面上垂直于齿轮轴线的直线为中心轴轻微旋转，使齿条节平面与齿轮轴线的夹角也是δ，即可通过展成运动获得半锥角为δ的锥形渐开线齿轮齿面。
锥形渐开线齿轮包括与锥形面齿轮啮合的锥形渐开线小齿轮和展成锥形面齿轮所使用的锥形渐开线齿轮刀具。展成锥形渐开线小齿轮和锥形渐开线齿轮刀具所使用的坐标系统和啮合方程是统一的。两者主要存在两方面的差别：一方面，锥形渐开线小齿轮的齿顶高通常为1倍齿轮模数，而为了保证锥形面齿轮副啮合时的顶隙，锥形渐开线齿轮刀具的齿顶高则通常取为1.25倍齿轮模数；另一方面，为了降低锥形面齿轮副对安装误差的敏感性，避免边缘接触，通常情况下，刀具齿轮比小齿轮多1～3个齿，以获得点接触的锥形面齿轮副。
锥形面齿轮的展成过程：锥形渐开线齿轮刀具绕自身轴线以ωs的角速度转动，锥形面齿轮绕自身轴线以ω2角速度转动，两者之间的角速度比值关系为ωs/ω2＝n2/ns，其中n2为锥形面齿轮齿数，ns为锥形渐开线齿轮刀具齿数，即可共轭展成可以与锥形渐开线小齿轮齿面配对啮合的锥形面齿轮齿面。
一种锥形面齿轮副的设计方法，其特征在于，包含以下步骤：
步骤一：确定锥形渐开线齿轮齿面方程和啮合方程。定义标准斜齿条刀具齿面方程；依据齿条与锥形渐开线齿轮的运动关系，建立齿条展成锥形渐开线齿轮的坐标系；确定斜齿条刀具与锥形渐开线齿轮的啮合方程；分别确定锥形渐开线齿轮的工作齿面方程和过渡曲面方程。
步骤二：确定锥形渐开线齿轮齿宽限制条件，包括齿面根切和齿顶变尖。如图5所示，当锥形渐开线齿轮小端齿宽的取值大于一定值时，在齿面小端会产生根切。另外，由于锥形渐开线齿轮的外轮廓是圆台，齿顶宽度从小端向大端逐渐减小。当齿顶宽度减小至零时，同一轮齿的两侧齿面相交于齿顶点。根据锥形渐开线齿轮齿面不发生根切条件，分别确定两侧齿面小端极限齿宽，取两者中的最小值作为小端极限齿宽bu。根据锥形渐开线齿轮齿顶不变尖条件，确定大端极限齿宽bs。确定锥形渐开线齿轮的极限齿宽bp＝bu bs。
步骤三：确定锥形面齿轮齿面方程和啮合方程。步骤二确定了锥形渐开线齿轮刀具的齿面方程，本步骤在刀具方程已知的情况下，根据展成关系，建立锥形面齿轮展成坐标系，确定锥形渐开线齿轮刀具与锥形面齿轮的啮合方程，进而获得锥形面齿轮工作齿面方程和过渡曲面方程。
步骤四：确定锥形面齿轮齿宽限制条件。如图8所示，由锥形渐开线齿轮刀具展成的锥形面齿轮齿宽限制条件则有四个：齿面根切、齿顶变尖、齿根相交和渐开线干涉。根据齿面根切和渐开线干涉限制条件，分别计算两个限制条件下锥形面齿轮内半径，取两者中的最大值作为锥形面齿轮最小内半径l1。根据齿顶变尖和齿根相交限制条件，分别计算两个限制条件下锥形面齿轮外半径，取两者中的最小值作为锥形面齿轮最大内半径l2。确定锥形面齿轮的有效齿宽w＝l2-l1。
步骤五：采用creo软件建立锥形面齿轮副三维模型。步骤一到步骤四已经确定了锥形面齿轮副中锥形渐开线齿轮和锥形面齿轮的齿面方程和极限尺寸，通过matlab编程求解获得的锥形渐开线齿轮单齿齿面点和锥形面齿轮单齿齿面点，将齿面点导入creo软件进行实体建模，从而得到锥形面齿轮副模型。
下面结合附图对本发明作进一步详细说明。
锥形面齿轮副的基本参数：锥形渐开线齿轮齿数n1＝26，锥形渐开线刀具齿数ns＝27,锥形面齿轮齿数n2＝110，模数mn＝2.5，压力角α＝25°，螺旋角β＝10°，半锥角δ＝5°，轴交角γ＝70°，外锥面齿轮。
步骤一：确定锥形渐开线齿轮齿面方程和啮合方程。
标准斜齿条刀具及其坐标系如图1所示。图1(a)为标准斜齿条法截面，齿条法截面上的齿廓分为两部分，一部分是齿条直线齿廓，用于展成锥形渐开线齿轮的工作齿面；另一部分是齿条刀具齿顶圆弧，用于展成锥形渐开线齿轮的过渡曲面。图1(b)为斜齿条节平面。坐标系sa的坐标原点oa和y轴都在齿条刀具法截面的直线齿廓上，x轴垂直于法截面直线齿廓。坐标系sb的坐标原点ob位于齿条刀具法截面齿槽中线与节线的交点处，x轴在节线上，y轴在齿槽中线上。
点a和点b分别表示齿条法截面左直线齿廓上的一点(图1)。将它们表示在坐标系sa中(p为小齿轮，s为刀具，l为左右齿面，r为右齿面)：
rai(ui)＝[0-ui01]t(i＝p,s)(1)
将点a和点b两点的坐标由辅助坐标系sa转换至齿条坐标系sr下，获得标准斜齿条的齿面∑ri：
rri(ui,li)＝mrb(li)mbarai(ui)(2)
式中：
i＝p——展成锥形渐开线小齿轮用标准斜齿条刀具；
i＝s——展成锥形渐开线齿轮刀具用标准斜齿条刀具；
ui——标准斜齿条刀具齿廓参数；
li——标准斜齿条刀具齿向参数；
mrb(li)——从坐标系sb到sr的坐标转换矩阵；
mba——从坐标系sa到坐标系sb的坐标转换矩阵。
mrb(li)和mba分别表示如下：
式中：
β——标准斜齿条节平面螺旋角。β>0时，标准斜齿条刀具左旋，所展成的锥形渐开线齿轮右旋；β＝0时，齿条刀具变成直齿，将展成直齿锥形渐开线齿轮；
αn——齿条法截面压力角；
ld——坐标系sb坐标原点ob到齿条刀具左右侧齿面的距离，可由下式表示：
标准斜齿条刀具两侧齿面的直线齿廓方程可通过公式(1)～公式(5)获得。齿条刀具直齿条单位法向量在坐标系sr下的表示为：
式中，nai是标准斜齿条刀具齿廓单位法向量在坐标系sa中的表示。lrb和lba是对应位置向量坐标转换矩阵mrb(li)和mba的子矩阵，是通过消除对应m矩阵的最后一行和最后一列获取的。
图2展示了标准斜齿条刀具法截面上的齿顶圆弧。左齿面圆弧上一点a′在坐标系sa中可表示为：
式中：
rc——齿条刀具齿顶圆弧圆心c的坐标在坐标系sa中的表示；
ρ——齿条刀具齿顶圆弧半径；
α′——齿条刀具齿顶圆弧上点a′的角度参数。
标准齿条刀具齿顶左齿面圆弧上点a′的单位法向量可表示为：
联立公式(2)～公式(8)，可获得标准斜齿条刀具左侧齿面齿顶圆弧的位置向量rri′(α′,li)和单位法向量nri′(α′)。
由锥形面齿轮副展成原理可知，轻微倾斜安装的标准斜齿条刀具，在半锥角为δ的圆台上作连续展成运动，即可获得半锥角为δ的锥形渐开线齿轮。
根据齿条刀具和锥形渐开线齿轮之间的运动关系，建立如图3所示的展成坐标系。坐标系sr和sd从属于齿条刀具。其中，sr是齿条自身坐标系，sd是齿条刀具辅助坐标系，是将坐标系sr沿xr轴逆时针转动角度δ形成的，坐标原点od与坐标系sr的原点or重合。同样地，锥形渐开线齿轮也拥有两个坐标系：se和si(i＝p,s；分别表示锥形渐开线小齿轮和锥形渐开线齿轮刀具)。坐标系se固定于锥形渐开线齿轮上，不随齿条刀具和锥形渐开线齿轮的展成运动而动。坐标系si是锥形渐开线齿轮随动坐标系，是将坐标系se沿坐标轴ze逆时针转动ψi角度形成的。展成时，齿条刀具沿坐标轴xr以速度vr作平移运动，锥形渐开线齿轮以角速度ωi沿ze旋转。
需要特别注意的是，坐标系se的xe-ye平面建立在锥形渐开线齿轮的零变位端面上。
如图4所示，锥形渐开线齿轮的齿面∑i由工作齿面和过渡曲面两部分组成。下面分别确定锥形渐开线齿轮的工作齿面和过渡曲面。
锥形渐开线齿轮的工作齿面方程是齿条刀具平面齿廓的包络集合，可由下式获得：
式中：
mie(ψi)——从固定坐标系se到齿轮坐标系si的坐标转换矩阵；
med——从辅助坐标系sd到固定坐标系se的坐标转换矩阵；
mdr——从齿条坐标系sr到辅助坐标系sd的坐标转换矩阵；
fri(ui,li,ψi)＝0——齿条刀具和锥形渐开线齿轮之间的啮合方程；
vr(ri)——齿条刀具和锥形渐开线齿轮接触点相对滑移速度在坐标系sr中的表示；
坐标转换矩阵mie(ψi)、med和mdr分别表示如下：
为了使齿条刀具和锥形渐开线齿轮准确啮合连续传动，在啮合点处两齿轮齿廓即无相互嵌入，也无相互脱离，必须满足啮合方程。一般将啮合方程表示在刀具坐标系下。
齿条刀具和锥形渐开线齿轮接触点相对滑移速度vr(ri)可通过下式获得：
锥形渐开线齿轮的齿面单位法向量可表示为：
ni(li,ψi)＝lie(ψi)ledldrnri(li)(14)
锥形渐开线齿轮的过渡曲面是由齿条刀具齿顶圆弧包络获得的。将公式(9)和公式(14)中的齿条刀具平面齿廓位置向量rri(ui,li)和单位法向量nri替换成齿条刀具齿顶圆弧的位置向量rri′(α′,li)和单位法向量nri′(α′)，即可以获得锥形渐开线齿轮过渡曲面方程：
式中：
rri′(α′,li)——齿条刀具齿顶圆弧的位置向量；
nri′(α′)——齿条刀具齿顶圆弧的单位法向量；
fri(α′,li,ψi)＝0——齿条刀具和锥形渐开线齿轮之间的啮合方程；
vr(ri)(α′,li,ψi)——齿条刀具和锥形渐开线齿轮接触点相对滑移速度在坐标系sr中的表示；
步骤二：确定锥形渐开线齿轮齿宽限制条件，包括齿面根切和齿顶变尖。
将锥形渐开线小齿轮的极限齿宽bp表示为小端极限齿宽bu和大端极限齿宽bs的和：
bp＝bu bs(16)
式中，小端齿宽bu是首先发生根切的端截面到坐标平面xp-yp的距离。大端齿宽bs是齿顶变尖的端截面到坐标平面xp-yp的距离，如图5所示。
锥形渐开线齿轮齿面∑p上出现奇异点是齿轮在加工过程中产生齿面根切的前兆。
由奇异性方程和啮合方程得：
锥形渐开线齿轮齿面上存在奇异性的充要条件是：
联立齿条刀具齿面方程(9)和公式(20)，既可以确定齿条刀具齿面上∑rp的一条奇异线lr。
求锥形渐开线小齿轮的齿面根切时，忽略标准斜齿条刀具的齿顶圆弧，将齿条刀具的齿顶视为尖角。齿条齿面∑rp上曲线lr与齿条齿顶的交点(假设为m点)确定的奇异点距离锥形渐开线小齿轮的坐标平面xp-yp最近。m点被称为根切临界点，它将限制锥形渐开线小齿轮的小端极限齿宽bu。曲线l与齿顶相交时，齿面参数up可表示为：
式中，arp是齿条刀具齿顶高，通常情况下arp＝1.25mn。
此时，可以确定齿条齿面∑rp上曲线lr与齿条齿顶交点m的坐标r(m)(x(m),y(m),z(m))。通过坐标转换和啮合方程，可进一步确定被展成小齿轮齿面∑p上的奇异点坐标
由于锥形渐开线齿轮两侧齿面端面压力角和节圆螺旋角不同，确定小端极限齿宽bu时，需要同时考虑两侧齿面。
在本实例参数下，锥形渐开线小齿轮的小端极限齿宽bu＝29.2mm。
根据图5对齿顶变尖的描述，齿顶变尖是三个曲面相交的结果。它们分别为：锥形渐开线齿轮同一轮齿的两侧工作齿面和齿顶圆台面。
锥形渐开线小齿轮齿顶圆台曲面顶点是c，半锥角为δ。曲面方程可表示为：
式中：
utp——锥形渐开线小齿轮齿顶圆台轴向参数；
θtp——锥形渐开线小齿轮齿顶圆台圆周方向参数；
假设锥形渐开线齿轮两个工作齿面和齿顶圆台的交点为k，那么k点坐标在坐标系sp下的表示r(k)(x(k),y(k),z(k))可联立锥形渐开线齿轮齿面方程(9)和公式(23)求得。
由齿顶变尖限制的锥形渐开线小齿轮的大端极限齿宽bs为：
bs＝-z(k)(24)
在本实例参数下，锥形渐开线小齿轮的大端极限齿宽bs＝39.0mm。
步骤三：确定锥形面齿轮齿面方程和啮合方程。
根据锥形面齿轮与锥形渐开线齿轮刀具之间的空间位置关系，建立锥形面齿轮展成坐标系如图6所示。坐标系se和ss是锥形渐开线齿轮坐标系，其中ss随齿轮转动，se空间固定。坐标系sm和s2是锥形面齿轮坐标系，s2随锥形面齿轮转动，sm在空间中固定。se和sm也可以视为用于坐标转换的辅助坐标系。点h是坐标轴oe-ye与锥形面齿轮齿顶圆锥的交点。锥形面齿轮的内、外半径l1和l2均定义在锥形面齿轮齿顶圆锥上。角γ是锥形渐开线齿轮刀具与锥形面齿轮的轴交角，通常情况下可取0°～135°。γm是轴交角γ的补交，当γm δ>90°时，所展成的是外锥面齿轮；γm δ<90°时，展成的是内锥面齿轮；γm δ＝90°时，锥形面齿轮齿顶圆锥变成平面。
角度ψ2和ψs分别是展成过程中，锥形面齿轮和锥形渐开线齿轮刀具的转角，它们满足如下关系：
式中：
ωs——锥形渐开线齿轮刀具角速度；
ω2——锥形面齿轮角速度；
ns——锥形渐开线齿轮刀具齿数；
n2——锥形面齿轮齿数。
锥形面齿轮的轮齿旋向被定义为与锥形渐开线小齿轮的旋向相反。
锥形面齿轮的齿面σ2分为两部分：工作齿面和过渡曲面。工作齿面是由锥形渐开线齿轮刀具的齿面部分展成，过渡曲面是由锥形渐开线齿轮刀具齿面与齿顶圆锥的交线展成。
锥形面齿轮工作齿面可视为是锥形渐开线齿轮齿面的包络集合。在其自身坐标系s2下，锥形面齿轮工作齿面方程可表示为：
式中：
m2m(ψ2)——坐标系sm到s2的坐标转换矩阵；
mme——坐标系se到sm的坐标转换矩阵；
mes(ψs)——坐标系ss到se的坐标转换矩阵；
rs(us,ls)——将啮合方程考虑在内的锥形渐开线齿轮齿面方程；
ns(ls,ψs)——锥形渐开线齿轮齿面单位法向量；
vs(s2)(us,ls,ψs)——齿轮刀具和锥形面齿轮在接触点的相对滑移速度在坐标系ss下的表示。
坐标转换矩阵m2m、mme和mes可分别表示为：
齿轮刀具和锥形面齿轮在接触点的相对滑移速度vs(s2)：
式中：
ωs——锥形渐开线齿轮刀具角速度矢量；
ωs(2)——锥形面齿轮角速度矢量；
假设锥形渐开线齿轮刀具的角速度矢量为：
ωs＝[00-ω]t(31)
那么锥形面齿轮的角速度矢量可表示为：
ω2＝[00i2sω]t(32)
将其由坐标系s2转换到坐标系ss可得：
在坐标系ss下，坐标原点os到o2的矢量可表示为：
确定锥形面齿轮的过渡曲面方程。不同于工作齿面，锥形面齿轮的过渡曲面是由锥形渐开线齿轮刀具的齿面与齿顶圆锥的交线展成的。锥形面齿轮过渡曲面方程可表示为：
式中：
afs——锥形渐开线齿轮刀具齿顶高，通常取1.25mn；
xn(s)，yn(s)——锥形渐开线齿轮刀具在坐标系sn下的位置矢量rn(s)的x,y分量，如图7所示。
步骤四：确定锥形面齿轮齿宽限制条件。如图8所示，由锥形渐开线齿轮刀具展成的锥形面齿轮齿宽限制条件则有四个：齿面根切、齿顶变尖、齿根相交和渐开线干涉。齿面根切和渐开线干涉限制锥形面齿轮内半径，齿顶变尖和齿根相交限制锥形面齿轮外半径，内外半径均指齿顶圆锥处的半径。
锥形面齿轮齿面根切限制的确定，由奇异性方程和啮合方程得：
锥形面齿轮齿面上存在奇异性的充要条件可总结为：
联立锥形渐开线齿轮刀具齿面方程(9)和公式(39)，可以获得锥形渐开线齿轮刀具齿面上由奇异条件确定的一条奇异线ls。曲线ls和齿轮刀具齿顶圆锥的交点t限制的锥形面齿轮内半径最大，将最终决定根切条件限制的锥形面齿轮内半径。结合以下方程，可获得t点在锥形渐开线齿轮坐标系ss下的坐标rs(t)(xs(t),ys(t),zs(t))。
将t点坐标转换到锥形面齿轮坐标系s2可得锥形面齿轮齿面上对应奇异点u坐标：
为了获得由根切条件限制的锥形面齿轮极限内半径，建立如图9所示的辅助坐标系。将锥形面齿轮齿面上的奇异点u转换到坐标系sl下：
式中：mlm是从坐标系sm到坐标系sl的坐标转换矩阵，可表示为：
根切限制的锥形面齿轮极限内半径可表示为：
在本实例参数下，根切限制的锥形面齿轮左侧齿面极限内半径为143.8mm，右侧齿面极限内半径为139.6mm。两者取最大值，即根切限制的锥形面齿轮极限内半径为143.8mm。
如图8所示，从小端到大端，锥形面齿轮的齿顶宽度逐渐变小，最终交于一点p，将此情形定义为齿顶变尖。
从几何上看，点p是三个曲面的交点，只需给出每个曲面的方程，即可得p点坐标，从而获得齿顶变尖限制的极限外半径。在坐标系s2下，齿顶圆锥方程可表示为：
式中：ut2,θt2是锥形面齿轮齿顶圆锥曲面参数。
联立锥形面齿轮齿面方程(26)和齿顶圆锥方程(45)，可求得p点在坐标系s2下的坐标r2(p)(x2(p),y2(p),z2(p))。将p点坐标转换到坐标系sl下：
齿顶变尖所限制的锥形面齿轮极限外半径可表示为：
在本实例参数下，齿顶变尖所限制的锥形面齿轮极限外半径为209.8mm。
从大端到小端，锥形渐开线齿轮齿面不同截面上渐开线齿廓的最低点距离齿根越来越远，导致在一定情况下，锥形渐开线齿轮的过渡曲面与锥形面齿轮工作齿面啮合，如图8(b)所示，这种情况被定义为渐开线干涉。渐开线干涉将会影响锥形面齿轮齿面的展成。
锥形渐开线齿轮刀具工作齿面和过渡曲面的公切线是由展成其的齿条刀具齿顶确定的。因此，对于锥形渐开线齿轮刀具的公切线参数us可表示为：
同时考虑公式(26)、(45)和(48)，共计3个未知数，提供3个方程。求解可得到渐开线干涉点i在坐标系s2中的坐标r2(i)(x2(i),y2(i),z2(i))。进一步将i点坐标转换到坐标系sl下：
渐开线干涉所限制的锥形面齿轮极限内半径可表示为：
在本实例参数下，渐开线干涉所限制的锥形面齿轮左侧齿面极限内半径为147.4mm,右侧齿面极限内半径为149.5mm。两者取最大值，即渐开线干涉所限制的锥形面齿轮极限内半径为149.5mm。
由于展成锥形面齿轮的渐开线齿轮刀具的齿顶宽度从小端到大端是渐变的，导致所展成的锥形面齿轮齿根部宽度从小端到大端是逐渐减小的，并且最终将交于一点f。齿根相交将限制锥形面齿轮的外径。
如图8所示，齿根相交点f是三个曲面的交汇点。它们分别是：锥形面齿轮相邻两齿紧邻的两个过渡曲面和锥形面齿轮的齿根圆锥面。
锥形面齿轮齿根圆锥面方程在锥形面齿轮坐标系s2下可表示为：
式中：
ut3,θt3——锥形面齿轮齿根圆锥曲面参数；
h2——锥形面齿轮齿全高，通常取2.25mn。
联立公式(35)和(51)可求得齿根相交点f在坐标系s2下的坐标r2(f)(x2(f),y2(f),z2(f))。
将f点坐标转换到坐标系sl下：
齿根相交所限制的锥形面齿轮极限外半径可表示为：
在本实例参数下，齿根相交所限制的锥形面齿轮极限外半径为172.9mm。
即本实例锥形面齿轮极限内半径为149.5mm，极限外半径为172.9mm。
步骤五：采用creo软件建立锥形面齿轮副三维模型。根据步骤四计算结果，取锥形面齿轮内半径为150mm，外半径为170mm。通过matlab编程求解获得锥形渐开线齿轮单齿齿面点和锥形面齿轮单齿齿面点，将齿面点导入creo软件进行实体建模，从而得到锥形面齿轮副模型如图10所示。
1.一种锥形面齿轮副，其特征在于：包括锥形渐开线齿轮和锥形面齿轮，其中的锥形面齿轮是由锥形渐开线齿轮刀具展成的。
2.根据权利要求1所述的一种锥形面齿轮副，其特征在于：所述锥形渐开线齿轮包括与锥形面齿轮啮合的锥形渐开线小齿轮和展成锥形面齿轮所使用的锥形渐开线齿轮刀具。
3.根据权利要求1所述的一种锥形面齿轮副，其特征在于，所述锥形渐开线齿轮的展成过程：将齿轮齿顶外轮廓由圆柱体改为半锥角为δ的圆台，并且将齿条刀具以节平面上垂直于齿轮轴线的直线为中心轴旋转，旋转后要保证齿条节平面与齿轮轴线的夹角也是δ，即可通过展成运动获得半锥角为δ的锥形渐开线齿轮齿面。
4.根据权利要求1所述的一种锥形面齿轮副，其特征在于，所述锥形面齿轮的展成过程：锥形渐开线齿轮刀具绕自身轴线以ωs的角速度转动，锥形面齿轮绕自身轴线以ω2角速度转动，两者之间的角速度比值关系为ωs/ω2＝n2/ns，其中n2为锥形面齿轮齿数，ns为锥形渐开线齿轮刀具齿数，即可共轭展成可以与锥形渐开线小齿轮齿面配对啮合的锥形面齿轮齿面。
5.基于权利要求1所述的一种锥形面齿轮副的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤一：确定锥形渐开线齿轮齿面方程和啮合方程，包括以下子步骤：
子步骤一：定义标准斜齿条刀具齿面方程；
rri(ui,li)＝mrb(li)mbarai(ui)
式中：
ui——标准斜齿条刀具齿廓参数；
li——标准斜齿条刀具齿向参数；
rai(ui)——a点在坐标系sa中的表示；
mrb(li)——从坐标系sb到sr的坐标转换矩阵；
mba——从坐标系sa到sb的坐标转换矩阵。
子步骤二：依据齿条与锥形渐开线齿轮的运动关系，建立齿条展成锥形渐开线齿轮的坐标系；坐标系sr和sd从属于齿条刀具。其中，sr是齿条自身坐标系，sd是齿条刀具辅助坐标系，是将坐标系sr沿xr轴逆时针转动角度δ形成的，坐标原点od与坐标系sr的原点or重合。同样地，锥形渐开线齿轮也拥有两个坐标系：se和si(i＝p,s；分别表示锥形渐开线小齿轮和锥形渐开线齿轮刀具)。坐标系se固定于锥形渐开线齿轮上，不随齿条刀具和锥形渐开线齿轮的展成运动而动。坐标系si是锥形渐开线齿轮随动坐标系，是将坐标系se沿坐标轴ze逆时针转动ψi角度形成的。展成时，齿条刀具沿坐标轴xr以速度vr作平移运动，锥形渐开线齿轮以角速度ωi沿ze旋转。
子步骤三：确定斜齿条刀具与锥形渐开线齿轮的啮合方程：
式中：
nri——齿条刀具单位法向量；
vr(ri)(ui,li,ψi)——齿条刀具和锥形渐开线齿轮接触点相对滑移速度在坐标系sr中的表示；
ψi——锥形渐开线齿轮转角(i＝p)，锥形渐开线齿轮刀具转角(i＝s)。
子步骤四：分别确定锥形渐开线齿轮的工作齿面方程和过渡曲面方程：
工作齿面方程：
式中：
mie(ψi)——从固定坐标系se到齿轮坐标系si的坐标转换矩阵；
med——从辅助坐标系sd到固定坐标系se的坐标转换矩阵；
mdr——从齿条坐标系sr到辅助坐标系sd的坐标转换矩阵；
rri(ui,li)——标准斜齿条刀具齿面方程；
fri(ui,li,ψi)＝0——齿条刀具和锥形渐开线齿轮之间的啮合方程。
过渡曲面方程：
式中：
rri′(α′,li)——齿条刀具齿顶圆弧的位置向量；
nri′(α′)——齿条刀具齿顶圆弧的单位法向量；
fri(α′,li,ψi)＝0——齿条刀具和锥形渐开线齿轮之间的啮合方程；
vr(ri)(α′,li,ψi)——齿条刀具和锥形渐开线齿轮接触点相对滑移速度在坐标系sr中的表示；
α′——齿条刀具齿顶圆弧上点a′的角度参数。
步骤二：确定锥形渐开线齿轮齿宽限制条件，锥形渐开线齿轮的极限齿宽为bp＝bu bs，bu为小端极限齿宽，bs为大端极限齿宽；
步骤三：确定锥形面齿轮齿面方程和啮合方程，包括以下子步骤：
子步骤一：建立锥形面齿轮展成坐标系：坐标系se和ss是锥形渐开线齿轮坐标系，其中ss随齿轮转动，se空间固定。坐标系sm和s2是锥形面齿轮坐标系，s2随锥形面齿轮转动，sm在空间中固定。se和sm也可以视为用于坐标转换的辅助坐标系。点h是坐标轴oe-ye与锥形面齿轮齿顶圆锥的交点。锥形面齿轮的内、外半径l1和l2均定义在锥形面齿轮齿顶圆锥上。角γ是锥形渐开线齿轮刀具与锥形面齿轮的轴交角。γm是轴交角γ的补交，当γm δ>90°时，所展成的是外锥面齿轮；γm δ<90°时，展成的是内锥面齿轮；γm δ＝90°时，锥形面齿轮齿顶圆锥变成平面。
子步骤二：确定锥形渐开线齿轮刀具与锥形面齿轮的啮合方程：
式中：
ns(ls,ψs)——锥形渐开线齿轮齿面单位法向量；
vs(s2)(us,ls,ψs)——齿轮刀具和锥形面齿轮在接触点的相对滑移速度在坐标系ss下的表示。
子步骤三：分别确定锥形面齿轮工作齿面方程和过渡曲面方程：
工作齿面方程：
式中：
m2m(ψ2)——坐标系sm到s2的坐标转换矩阵；
mme——坐标系se到sm的坐标转换矩阵；
mes(ψs)——坐标系ss到se的坐标转换矩阵；
rs(us,ls)——将啮合方程考虑在内的锥形渐开线齿轮齿面方程；
过渡曲面方程：
式中：
afs——锥形渐开线齿轮刀具齿顶高，通常取1.25mn；
xn(s)，yn(s)——锥形渐开线齿轮刀具在坐标系sn下的位置矢量rn(s)的x,y分量；
δ——锥形渐开线齿轮刀具半锥角；
rps——锥形渐开线齿轮刀具节圆半径。
步骤四：确定锥形面齿轮的有效齿宽w＝l2-l1，其中l2为锥形面齿轮最大内半径，l1为锥形面齿轮最小内半径；
步骤五：建立锥形面齿轮副三维模型，通过编程求解获得的锥形渐开线齿轮单齿齿面点和锥形面齿轮单齿齿面点，将齿面点导入建模软件进行实体建模，从而得到锥形面齿轮副模型。
技术总结