本发明属于机构运动综合技术领域，具体涉及一种混合位姿约束的单自由度六杆机构设计方法。
背景技术：
在机构学中，平面连杆机构作为机构学的研究基础，其研究非常广泛，而且具有多种多样的结构和特征，因此对平面连杆机构的研究从未停止。
现有的单自由度六杆机构运动综合方法的研究基本上都是针对四个或者五个精确位姿而言，但是对于稍复杂的轨迹，仅凭这四个或者五个精确位姿的约束很可能得不到理想的目标轨迹，此时需要再引入若干个近似位姿的约束使轨迹曲线符合预期。经过大量的文献资料的检索与阅读，目前还没有查阅到单自由度六杆机构通过精确和近似混合位姿的相关文献。
技术实现要素：
本发明的目的在于提供一种混合位姿约束的单自由度六杆机构设计方法。
本发明具体步骤如下：
步骤一：在所需达到的目标轨迹中，选取z k个位姿，规定其中的z个位姿精确通过，k个位姿近似通过，z<5。
步骤二：给定一个3r开链杆组；3r开链杆组包括首端杆件ma、中间杆件ab和末端杆件bc，使得末端杆件bc能够精确通过步骤一中选取的z k个位姿，确定出3r开链杆组固定铰链的位置、首端杆件ma、中间杆件ab、末端杆件bc的杆长，以及精确通过z k个位姿时首端杆件ma、中间杆件ab和末端杆件bc之间的相对位姿关系。3r开链杆组形成的三个转动关节分别为点m、点a和点b。点m为固定铰链。
步骤三：将中间杆件ab变形为三角构件abe；添加第一rr约束杆件oe。用坐标系bi,i＝1,2,3分别表示3r开链中每个转动关节的姿态；用[bij]，j＝1,2…z表示3r开链杆组处于z个精确位姿时第i个转动关节坐标系bi相对于大地坐标系的变换矩阵。[bij],i＝1,2,3的表达式如式(1)所示：
式(1)中，θij表示在第j个精确位姿下，以第i个转动关节为首端的杆件与大地坐标系x轴正方向的逆时针夹角i＝1,2,3,j＝1,2…z。xm、ym分别表示点m在大地坐标系中的横坐标、纵坐标；xa、ya分别表示点a在大地坐标系中的横坐标、纵坐标；xb、yb分别表示点b在大地坐标系中的横坐标、纵坐标。
将第一rr约束杆件oe连接三角构件abe的那个转动关节记为点e，另一个转动关节记为点o；用e来表示点e在坐标系b2中的坐标；3r开链杆组处于z个精确位姿时，点e在大地坐标系中的坐标ej的表达式如式(2)所示。
ej＝[b2j]e,j＝1,2…z(2)
引入相对位移矩阵[r1j]如式(3)所示。
[r1j]＝[b2j][b21]-1,j＝1,2…z(3)
根据式(3)，式(2)变形为式(4)。
ej＝[r1j]e1,j＝1,2…z(4)
用l1表示第一rr约束杆件oe的杆长，得到约束方程组如方程组(5)所示。
([r1j]e1-o)·([r1j]e1-o)＝l12,j＝1,2…z(5)
方程组(5)中，使得e1＝(x,y,1)t,o＝(u,v,1)t。坐标(x,y),(u,v)分别表示第一rr约束杆件oe的两端转动关节在第一个精确位姿下的坐标。
方程组(5)中的z个方程消去未知的第一rr约束杆件oe的杆长l1之后就变成了z-1个方程。
步骤二所得3r开链杆组在精确到达第一个近似位姿时点b的坐标记为(s11,s21)。添加第一rr约束杆件oe后，点b在第一个近似位姿时的实际位置坐标记为b'(j11',j21')。a'、b'、c'、e'分别表示首端杆件ma转动至第一近似角度θ1'时，点a、b、c、e在所到达的实际位姿；添加第一rr约束杆件oe后第一个近似位姿的误差
j11'＝xm lmacos(θ1') labcos(2π-θ6'-θ5)(6)
j21'＝ym lmasin(θ1')-labsin(2π-θ6'-θ5)(7)
式(6)和(7)中，xm表示点m的横坐标；ym表示点m的纵坐标；θ1'表示步骤二所得3r开链杆组在精确到达第一个近似位姿时，首端杆件ma与大地坐标系x轴正方向的逆时针角度；θ6'表示边a'e'与大地坐标系x轴正方向的逆时针夹角；θ5表示三角构件abe内的边ab与边ae之间的夹角；lma为点m与a的距离；lab为点a与b的距离。
θ6'由点a'和点e'的坐标确定；建立方程组(8)：
方程组(8)中，xe'和ye'分别表示点e'的横坐标和纵坐标；xa'和ya'分别表示点a'的横坐标和纵坐标；xa和ya分别表示点a的横坐标和纵坐标；(x,y),(u,v)表示第一rr约束杆件oe两端转动关节在第一个精确位姿下的坐标。
根据方程组(8)，求解出的坐标e'(xe',ye')是包含(x,y,u,v)的表达式，使得θ6'由(x,y,u,v)决定。θ5的大小由余弦定理求出，如式(9)所示：
在式(9)中：lab、lae、lbe分别表示边ab、边ae、边be的长度，其中lab已知。lae表达式如式(10)所示；lbe表达式如式(11)所示：
在式(11)中，xb和yb分别表示点b在大地坐标系内的横坐标和纵坐标。至此，第一个近似位姿的误差e11用含有(x,y,u,v)的表达式进行表示。
同理，其余k-1个近似位姿的误差e12,e13…e1k也都用含有(x,y,u,v)的表达式进行表示。设定k个近似位姿的误差的阈值ηi，i＝1,2,…,k；从而得到k条不等式：e1i≤ηi。
将z-1个等式方程与k个不等式方程进行联立，如方程组(12)所示。
求解方程组(12)，获取一组(x,y,u,v)。(x,y,u,v)确定了第一rr约束杆件oe的位置。(u,v)即为第一rr约束杆件oe与机架的转动关节坐标；
步骤四：将末端杆件bc变形为三角构件bcd；将第一rr约束杆件oe变形为三角构件oef；添加第二rr约束杆件df。用坐标系b4来表示点o的姿态，用[b4j]j＝1,2…z表示在z个精确位姿下点o相对于大地坐标系的变换矩阵，表达式如式(13)所示：
式(13)中，θ4j,j＝1,2…z表示在第j个精确位姿下，第一rr约束杆件oe与大地坐标系x轴正方向的逆时针夹角；xo、yo分别表示点o的横坐标、纵坐标。
第二rr约束杆件df连接三角构件bcd的那个转动关节记为点d，连接三角构件oef的那个转动关节记为点f。用d来表示点d在坐标系b3中的坐标；用f来表示点f在坐标系b4中的坐标。第二rr约束杆件df的两个转动关节在大地坐标系下的z个位置坐标可以表示为式(14)。
式(14)中，dj表示点d在第j个精确位姿下大地坐标系内的坐标；fj表示点d在第j个精确位姿下大地坐标系内的坐标。
引入相对位移矩阵[t1j]和[v1j]如式(15)所示。
根据式(15)，式(14)变形为式(16)。
用l2表示第二rr约束杆件df的杆长，得到约束方程组(17)。
([v1j]f1-[t1j]d1)·([v1j]f1-[t1j]d1)＝l22,j＝1,2…z(17)
在方程组(17)中，使得d1＝(u',v',1)t,f1＝(x',y',1)t。坐标(u',v'),(x',y')分别表示第二rr约束杆件df两端转动关节在第一个精确位姿下的坐标。
方程组(17)中的z个方程消去未知的第二rr约束杆件df的杆长l2之后就变成了z-1个方程。
步骤二所得3r开链杆组在精确到达第一个近似位姿时点c的坐标记为(s12,s22)。添加第二rr约束杆件df后，点c在第一个近似位姿时的实际位置坐标记为(j12',j22')。d'、f'分别表示首端杆件ma转动至第一近似角度θ1'时，点d、f在所到达的实际位姿；添加第一rr约束杆件oe后第一个近似位姿的误差
式(18)和(19)中，j11'和j21'分别表示点b'在大地坐标系内的横坐标和纵坐标；α'表示边b'd'与大地坐标系x轴正方向的逆时针夹角；
α'由点b'和点d'确定，建立方程组(20)；
式(20)中，xd'和yd'分别表示点d'在大地坐标系内的横坐标和纵坐标；j11'和j21'分别表示点b'在大地坐标系内的横坐标和纵坐标；j11和j21表示点b在大地坐标系内的横坐标和纵坐标，xf'和yf'表示点f'在大地坐标系内的横坐标和纵坐标，其表达式如式(21)所示。
式(21)中，θ4'表示在第一个近似位姿下三角构件oe'f'中边oe'与大地坐标系x轴正方向的逆时针角度；β'表示边oe'与边of'的夹角；β表示在三角构件oef中边oe与边of的夹角。
式(21)中，β的余弦表达式如式(22)所示。
在式(22)中，loe、lof、lef分别表示三角构件oef中边oe、边of和边ef的长度；其中loe已知，
点f'(xf',yf')的坐标为含有(x',y')的表达式；点d'(xd',yd')的坐标为含有(x',y',u',v')的表达式。α'也是关于(x',y',u',v')的方程。
式(23)中，lbc、lbd和lcd分别表示三角构件bcd中边bc、边bd和边cd的长度，lbc已知；lbd表达式如式(24)所示；lcd表达式如式(25)所示：
式(25)中，j12、j22分别为点c的横坐标、纵坐标；
将根据式(17)所得的z-1个等式方程与k个不等式方程e2i≤η′i进行联立；解出一组(x',y',u',v')；(x',y',u',v')确定了第二rr约束杆件df的长度和位置。
作为优选，步骤三中，求解(x,y,u,v)的方法如下：对(x,y,u,v)中的一个或多个未知数进行多次估计值赋值；将各个估计值分别代入方程组(12)，获得(x,y,u,v)的解域。从(x,y,u,v)的解域中，根据第一rr约束杆件oe在被设计装置中的位姿要求，选取一组(x,y,u,v)的值。
作为优选，步骤四执行结束后，执行以下操作：根据首端杆段ma、三角构件abe、三角构件oef、三角构件bcd和第二rr约束杆件df的长度和位置，搭建三角构件bcd的外端(点c)能够按照符合目标轨迹要求运动的单自由度六杆机构。
本发明具有的有益效果是：
1、本发明提出了一种混合位姿约束的单自由度六杆机构设计方法，为混合位姿约束的单自由度六杆机构在实际应用中提供了一整套完善的设计方法，使得单自由度六杆机构末端执行器能够进行更加精确的复杂轨迹运动。
2、本发明中的k个近似位姿的误差范围事先给定，利用本发明中的方法综合出来的机构解域更广并且可以通过控制近似位姿的误差来调整机构解域。
3、本发明中的给定z k个混合位姿进行机构综合的方法相比于传统的给定四个精确位姿进行机构综合的方法而言，降低了取解的难度，保证了解在理论上的可行性，也使得最终机构的轨迹曲线更接近理想曲线。
4、本发明中的k个近似位姿的误差范围可调，易于机构的优化设计。
5、本发明中的k个近似位姿的最终误差数值可以准确求得。
附图说明
图1为wattⅰ型单自由度六杆机构总体设计思路示意图；
图2为本发明给定的3r开链在通过z个精确位姿时的状态图；
图3为本发明在第一rr约束杆件oe的添加过程中近似位姿的误差求解示意图；
图4为本发明中第一rr约束杆件oe的姿态示意图；
图5为本发明在第二rr约束杆件df的添加过程中近似位姿的误差求解示意图；
图6为在康复训练装置实例中利用本发明的方法综合所得的单自由度六杆机构简图；
图7为康复训练装置实例中的单自由度六杆机构在通过8个目标位姿时的状态图。
具体实施方式
以下结合附图对本发明作进一步说明。
如图1所示，单自由度六杆机构的总体设计思路为：首先给定3r开链1-2-3；在杆件2和机架之间添加杆件4，使其自由度由3个减为2个；再在杆件4和杆件3之间添加杆件5，最终得到单自由度六杆机构，其末端执行件可以精确通过z个位姿并且近似通过k个位姿。
混合位姿约束的单自由度六杆机构的运动综合方法，具体步骤如下：
步骤一：在所需达到的目标轨迹中，选取z k个位姿，规定其中的z(z<5)个位姿精确通过，k个位姿近似通过。
步骤二：通过仿真或实验，给定一个3r开链杆组；3r开链杆组包括首端杆件ma、中间杆件ab和末端杆件bc，使得末端杆件bc能够全部精确通过步骤一中选取的z k个位姿，确定出3r开链杆组固定铰链的位置、首端杆件ma、中间杆件ab、末端杆件bc的杆长，以及精确通过z k个位姿时首端杆件ma、中间杆件ab和末端杆件bc之间的相对位姿关系。3r开链杆组形成的三个转动关节分别为点m、点a和点b。点m为固定铰链。
步骤三：如图2和3所示，将中间杆件ab变形为三角构件abe；添加第一rr约束杆件oe。为了求出第一rr约束杆件oe的位置和长度，用坐标系bi,i＝1,2,3分别表示3r开链中每个关节的姿态；用[bij]，j＝1,2…z表示3r开链杆组处于z个精确位姿时第i个转动关节坐标系bi相对于大地坐标系的变换矩阵。[bij],i＝1,2,3的表达式如式(1)所示：
式(1)中，θij表示在第j个精确位姿下，以第i个转动关节为首端的杆件与大地坐标系x轴正方向的逆时针夹角i＝1,2,3,j＝1,2…z。xm、ym分别表示点m在大地坐标系中的横坐标、纵坐标；xa、ya分别表示点a在大地坐标系中的横坐标、纵坐标；xb、yb分别表示点b在大地坐标系中的横坐标、纵坐标。
将第一rr约束杆件oe连接三角构件abe的那个转动关节记为点e，另一个转动关节记为点o；用e来表示点e在坐标系b2中的坐标；用o来表示点o的另一个转动关节在大地坐标系中的坐标，即坐标o表示第一rr约束杆件oe的固定铰链的坐标，并且在z个精确位姿时坐标o保持不变。这样，
3r开链杆组处于z个精确位姿时，点e在大地坐标系中的坐标表示为式(2)。
ej＝[b2j]e,j＝1,2…z(2)
式(2)中，ej表示点e在第j个精确位姿下大地坐标系内的坐标。
引入相对位移矩阵[r1j]，[r1j]表示点e在第j个精确位姿下的坐标相对于第1个精确位姿下的坐标的变换矩阵，[r1j]的表达式如式(3)所示。
[r1j]＝[b2j][b21]-1,j＝1,2…z(3)
根据式(3)，式(2)变形为式(4)。
ej＝[r1j]e1,j＝1,2…z(4)
点ej和点o分别表示第一rr约束杆件oe的两端在第j个精确位姿下的坐标，由式(4)可知，在第2～z个精确位姿下，点e的坐标可以用含e1的表达式来表示。用l1表示第一rr约束杆件oe的杆长，得到约束方程组如方程组(5)所示。
([r1j]e1-o)·([r1j]e1-o)＝l12,j＝1,2…z(5)
在方程组(5)中，为方便计算在e1和o后增加一个元素1，使得e1＝(x,y,1)t,o＝(u,v,1)t。坐标(x,y),(u,v)分别表示第一rr约束杆件oe的两端转动关节在第一个精确位姿下的坐标。
方程组(5)中的z个方程消去未知的第一rr约束杆件oe的杆长l1之后就变成了z-1个方程，且z-1<4；即未知数的个数有4个，但是方程的个数小于4个。此时需要引入关于这四个未知数(x,y,u,v)的其他的约束方程或者不等式方程。本发明将k个近似位姿的误差转化为k个不等式方程对四个未知数进行约束。
如图3所示，(s11,s21)为步骤二所得3r开链杆组在精确到达第一个近似位姿时点b(即3r开链杆组末端杆件bc内端转动关节)的坐标。b'(j11',j21')为添加第一rr约束杆件oe后，点b从第一个精确位姿运动到第一个近似位姿时所到达的实际位置坐标(在第一rr约束杆件oe确定的情况下其值已知)。点(s11,s21)与点(j11',j21')的距离e11为添加第一rr约束杆件oe后第一个近似位姿的误差，
式(6)和(7)中，xb'表示点b'的横坐标，xa'表示点a'的横坐标；a'、b'、c'、e'分别表示首端杆件ma转动至第一近似角度θ1'时，点a、b、c、e在所到达的实际位姿；第一近似角度θ1'表示步骤二中末端杆件bc处于第一近似位姿时，首端杆件ma与大地坐标系x轴正方向的逆时针夹角(即图3中边ma'与大地坐标系x轴正方向的逆时针夹角)；θ6'表示边a'e'与大地坐标系x轴正方向的逆时针夹角；θ5'表示边a'b'与边a'e'之间的夹角；xm表示点m的横坐标；θ5表示三角构件abe内的边ab与边ae之间的夹角；yb'表示点b'的纵坐标；ya'表示点a'的纵坐标；ym表示点m的纵坐标。la'b'为点a'与b'的距离；lma'为点m与a'的距离；lma为点m与a的距离；lab为点a与b的距离。
式(6)和(7)中的已知量为：xm,ym,lma,θ1',lab；未知量为θ6'和θ5。其中，θ6'由点a'和点e'的坐标确定；点a'的坐标已知；点e'由以点a'为圆心lae为半径的圆与以点o为圆心loe'为半径的圆的交点确定；由此建立方程组(8)：
方程组(8)中，xe'和ye'分别表示点e'的横坐标和纵坐标；xa'和ya'分别表示点a'的横坐标和纵坐标；xa和ya分别表示点a的横坐标和纵坐标；(x,y),(u,v)表示第一rr约束杆件oe两端转动关节在第一个精确位姿下的坐标，即点e和点o的坐标。
根据方程组(8)，求解出的坐标e'(xe',ye')是包含四个未知数(x,y,u,v)的表达式，即θ6'由未知数(x,y,u,v)决定。θ5的大小由余弦定理求出，如式(9)所示：
在式(9)中：lab、lae、lbe分别表示边ab、边ae、边be的长度，其中lab已知。lae表达式如式(10)所示；lbe表达式如式(11)所示：
在式(11)中，xb和yb分别表示点b在大地坐标系内的横坐标和纵坐标，即图3中的(j11,j21)。至此，第一个近似位姿的误差e11用含有四个未知数(x,y,u,v)的表达式进行表示。
同理，其余k-1个近似位姿的误差e12,e13…e1k也都用含有四个未知数(x,y,u,v)的表达式进行表示。设定k个近似位姿的误差的阈值ηi，i＝1,2,…,k；从而得到k条不等式：e1i≤ηi。
将z-1个等式方程与k个不等式方程进行联立，如方程组(12)所示。
方程组(12)中，η1、η2…ηk分别代表k个近似位姿的误差的阈值(其值根据实际情况给定)。
在求解方程组(12)时，为了方便起见，根据实际工作情况，在预设区间内按照预设步长选取多个估计值，对(x,y,u,v)中的一个或多个未知数进行多次估计值赋值；将各个估计值分别作为被赋值的未知数代入方程组(12)，获得(x,y,u,v)的解域。
例如，当z＝4时，4个未知数对应3个等式方程，此时针对第一rr约束杆件oe的一个端点的纵坐标v，在实际工作中纵坐标v的设置范围[a,b]内等步长取值赋给v；取出的v值代入方程组(5)求解后，无解或能够得到对应的(x,y,u)的值；因此，在区间[a,b]内等步长给定一系列v的值，得出了关于(x,y,u,v)的解域；通过调整η1、η2…ηk的值可以调整解域的范围。事实上，η1、η2…ηk越小，(x,y,u,v)的解域就越小即(x,y,u,v)解的个数就越少。但是不能仅仅通过不断地限制η1、η2…ηk的值来确定(x,y,u,v)的解，因为(x,y,u,v)还决定着机构的构型，需要在保证机构构型能够满足实际工作条件的情况下取η1、η2…ηk的最小值，即在机构构型合理的条件下限制解域。在最终的解域中，点(x,y)的分布一般较集中，点(u,v)的分布也是如此。
从(x,y,u,v)的解域中，根据第一rr约束杆件oe在被设计装置中的位姿要求，选取一组(x,y,u,v)的值，使得所添加的第一rr约束杆件oe最合理；(x,y,u,v)确定了第一rr约束杆件oe的位置；至此完成第一rr约束杆件oe的添加，四杆机构mabeo的末端执行件的端点b在通过k个近似位姿时的误差可以根据e12,e13…e1k求出。(u,v)即为第一rr约束杆件oe与机架的转动关节(即点o)坐标；
步骤四：如图4和5所示，将末端杆件bc变形为三角构件bcd；将第一rr约束杆件oe变形为三角构件oef；添加第二rr约束杆件df。在步骤三求出了e1＝(x,y,1)t和o＝(u,v,1)t后，第一rr约束杆件oe也就随之确定。同样的，用坐标系b4来表示点o(第一rr约束杆件oe的固定铰链)的姿态，用[b4j]j＝1,2…z表示在z个精确位姿下点o相对于大地坐标系的变换矩阵，表达式如式(13)所示：
式(13)中，θ4j,j＝1,2…z表示在第j个精确位姿下，第一rr约束杆件oe与大地坐标系x轴正方向的逆时针夹角；xo、yo分别表示点o的横坐标、纵坐标。
第二rr约束杆件df连接三角构件bcd的那个转动关节记为点d，连接三角构件oef的那个转动关节记为点f。用d来表示点d在坐标系b3中的坐标；用f来表示点f在坐标系b4中的坐标。这样，第二rr约束杆件df的两个转动关节在大地坐标系下的z个位置坐标可以表示为式(14)：
式(14)中，dj表示点d在第j个精确位姿下大地坐标系内的坐标；fj表示点d在第j个精确位姿下大地坐标系内的坐标。
引入相对位移矩阵[t1j]和[v1j]，[t1j]表示点d在第j个精确位姿下的坐标相对于第1个精确位姿下的坐标的变换矩阵，[v1j]表示点f在第j个精确位姿下的坐标相对于第1个精确位姿下的坐标的变换矩阵，[t1j]和[v1j]的表达式如式(15)所示。
根据式(15)，式(14)变形为式(16)。
点dj和点fj表示在第j个精确位姿下，第二rr约束杆件df两个端点的坐标。用l2表示第二rr约束杆件df的杆长，得到约束方程组(17)。
([v1j]f1-[t1j]d1)·([v1j]f1-[t1j]d1)＝l22,j＝1,2…z(17)
在方程组(17)中，为方便计算在d1和f1后增加一个元素1，使得d1＝(u',v',1)t,f1＝(x',y',1)t。坐标(u',v'),(x',y')分别表示第二rr约束杆件df两端转动关节在第一个精确位姿下的坐标。
方程组(17)中的z个方程消去未知的第二rr约束杆件df的杆长l2之后就变成了z-1个方程，且z-1<4。此处同样需要引入关于这四个未知数的其他的约束方程或者不等式方程。这里仍然将k个近似位姿的误差转化为k个不等式方程对四个未知数进行约束。
如图5所示，(s12,s22)为步骤二所得3r开链杆组在精确到达第一个近似位姿时点c(即3r开链杆组末端杆件bc外端转动关节)的坐标。(j12',j22')为添加第一rr约束杆件oe后，点c从第一个精确位姿运动到第一个近似位姿时所到达的实际位置坐标。当首端杆件ma转动至第一近似角度θ1'时，点d、f分别到达的实际位姿为点d'、f'。点(s12,s22)与点(j12',j22')的距离e21为添加第二rr约束杆件df后第一个近似位姿的误差，
式(18)和(19)中，xc'、yc'分别表示点c'在大地坐标系中的横坐标、纵坐标；xb'、yb'分别表示点b'在大地坐标系中的横坐标、纵坐标(即图中的j11'、j21')；
式(18)和(19)中的已知量为：j11',j21',lbc，未知量为
式(20)中，xd'和yd'分别表示点d'在大地坐标系内的横坐标和纵坐标；j11'和j21'分别表示点b'在大地坐标系内的横坐标和纵坐标；j11和j21表示点b在大地坐标系内的横坐标和纵坐标，xf'和yf'表示点f'在大地坐标系内的横坐标和纵坐标，其表达式如式(21)所示。
式(21)中，θ4'表示在第一个近似位姿下三角构件oe'f'中边oe'与大地坐标系x轴正方向的逆时针角度；β'表示边oe'与边of'的夹角；β表示在三角构件oef中边oe与边of的夹角。
式(21)中，xo、yo和θ4'已知。β的余弦表达式如式(22)所示。
在式(22)中，loe、lof、lef分别表示三角构件oef中边oe、边of和边ef的长度；其中loe已知，
至此点f'(xf',yf')可求出，点f'(xf',yf')的坐标为含有未知数(x',y')的表达式；点d'(xd',yd')也随之求出，点d'(xd',yd')的坐标为含有(x',y',u',v')的表达式。因为角度α'由点b'和点d'的坐标确定，所以角度α'也是关于(x',y',u',v')的方程。
式(23)中，lbc、lbd和lcd分别表示三角构件bcd中边bc、边bd和边cd的长度，lbc已知；lbd表达式如式(24)所示；lcd表达式如式(25)所示：
式(25)中，xc、yc分别为点c的横坐标、纵坐标，即(j12,j22)。
由式(23)、(24)和(25)可以看出，角度
将根据式(17)所得的z-1个等式方程与k个不等式方程e2i≤η′i进行联立；根据步骤三中求解方程组的方法求解本步骤的方程组，得到(x',y',u',v')的解域；从(x',y',u',v')的解域中，根据第二rr约束杆件df在被设计装置中的位姿要求，选取一组(x',y',u',v')的值，使得所添加的第二rr约束杆件df最合理；(x',y',u',v')确定了第二rr约束杆件df的长度和位置；至此完成第二rr约束杆件df的添加；该六杆机构执行构件的端点c在通过k个近似位姿时的误差可以根据e22,e23…e2k求出。
步骤五：根据首端杆件ma、三角构件abe、三角构件oef、三角构件bcd和第二rr约束杆件df的长度和位置，搭建三角构件bcd的外端(点c)能够按照符合目标轨迹要求运动的单自由度六杆机构。
本发明主要介绍了一种混合位姿约束的单自由度六杆机构设计方法，最终综合出的六杆机构的执行件可以精确通过z个位姿并且近似通过k个位姿，且通过k个近似位姿的误差也可精确确定。本发明中的混合位姿约束的单自由度六杆机构设计方法，为混合位姿约束的单自由度六杆机构在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，促进了单自由度六杆机构的推广使用。
下面就以辅助人体下肢大腿、小腿和足部的康复训练装置为例，具体说明根据工程实际要求来设计单自由度六杆机构用来辅助人体下肢进行康复训练。六杆机构的末端执行件可以实现较复杂的轨迹，而且人体各关节的运动都有固定的模式和特点，从理论上来说完全可以用单自由度六杆机构来实现。首先需要通过实验来获取人体在正常运动过程中踝关节和脚尖部位的位姿。具体实验步骤为：1、人坐在试验椅上，在踝关节和脚尖部位各粘贴两个标记点，右下肢进行正常的训练；2、摄像机静止，摄影方向正对着人体下肢，连续采集5个周期；3、以20张/秒的频率从视频中提取图片；4、以图片的左下角为原点建立坐标系，读取各标记点的坐标；5、将5个周期的标记点的坐标取平均值，从中选取8个位姿并指定其中4个为精确位姿，剩下的4个为近似位姿。位姿的具体数值为：踝关节处的4个精确位姿为：(306.3,735.8,52.9°)，(565.9,531,59.2°)，(510,246.5,36.1°)，(379.6,474.7,31.1°)；踝关节处的4个近似位姿为：(459.6,682.2,60°)，(582,327.6,50.1°)，(424.2,350,27.9°)，(318,643.7,42.4°)；脚尖部位的4个精确位姿为：(457,935.3,147°)，(773.9,745.8,135.3°)，(857.3,268.3,97.4°)，(679.5,544.5,106°)；脚尖部位的4个近似位姿为：(640.3,871.9,142°)，(890.7,492,117.7°)，(763.1,370.5,99.3°)，(573.4,737.9,115.3°)。
接着将人体的大腿、小腿和足部看作是3r开链，其固定铰链点在髋关节(-269.9,490.7)处，大腿即第一根杆长为550mm，小腿即第二根杆长为：400mm，足部即第三根杆长为250mm，该3r开链可以精确通过以上踝关节和脚尖处的目标位姿。
接下去根据步骤三和步骤四，在上述由大腿、小腿和足部构成的3r开链中进行第一rr约束杆件oe和第二rr约束杆件df的添加。在第一rr约束杆件oe的添加过程中，需要预先设定踝关节处4个近似位姿的误差，在保证机构的可行性的同时为了使误差尽可能小，经初步计算，此处将误差均控制在6mm以下。通过求解方程组(12)，可将(x,y,u,v)的解域减少为4个，从中选取构型最合理的解，这里选取(x,y)＝(337.8,103.7)和(u,v)＝(421.3,-129)作为第一rr约束杆件oe的结果，算得4个近似位姿的误差分别为：5.21mm，4.07mm，5.93mm，5.8mm。在第二rr约束杆件df的添加过程中，经初步计算发现脚尖部位的第二个近似位姿的误差要明显大于其他三个，在保证机构的可行性的同时为了使误差尽可能小，此处取：e21≤15，e22≤45，e23≤15，e24≤15。同样通过求解方程组并且结合六杆机构的曲柄存在条件，可将(x',y',u',v')的解域减少为6个，选取(x',y')＝(345.76,171)和(u',v')＝(517.82,562.74)作为第二rr约束杆件df的结果。从而算得脚尖部位的4个近似位姿的误差分别为：14mm，41.9mm，4.1mm，6.6mm。至此在3r开链的基础上完成了第一rr约束杆件oe和第二rr约束杆件df的添加，得到的单自由度六杆机构如图6所示，该单自由度六杆机构的b点和c点可以通过给定的4个精确位姿和给定的4个近似位姿，并且在通过4个近似位姿时的误差可以准确求得。图6中的杆ma固定在大腿上，ab固定在小腿上，bc固定在足部，点m、a、b、c分别对应人体髋关节、膝关节、踝关节和脚尖。由图6可知各关节的轨迹曲线与人体工程学的轨迹曲线基本一致，从而可以达到较好的康复训练效果。如图7所示为利用本发明中的方法最终综合得出的单自由度六杆机构在通过4个精确位姿和4个近似位姿时的状态图，存在曲柄oef，构型合理。
1.一种混合位姿约束的单自由度六杆机构设计方法，其特征在于：步骤一：在所需达到的目标轨迹中，选取z k个位姿，规定其中的z个位姿精确通过，k个位姿近似通过，z<5；
步骤二：给定一个3r开链杆组；3r开链杆组包括首端杆件ma、中间杆件ab和末端杆件bc，使得末端杆件bc能够精确通过步骤一中选取的z k个位姿，确定出3r开链杆组固定铰链的位置、首端杆件ma、中间杆件ab、末端杆件bc的杆长，以及精确通过z k个位姿时首端杆件ma、中间杆件ab和末端杆件bc之间的相对位姿关系；3r开链杆组形成的三个转动关节分别为点m、点a和点b；点m为固定铰链；
步骤三：将中间杆件ab变形为三角构件abe；添加第一rr约束杆件oe；用坐标系bi,i＝1,2,3分别表示3r开链中每个转动关节的姿态；用[bij]，j＝1,2…z表示3r开链杆组处于z个精确位姿时第i个转动关节坐标系bi相对于大地坐标系的变换矩阵；[bij],i＝1,2,3的表达式如式(1)所示：
式(1)中，θij表示在第j个精确位姿下，以第i个转动关节为首端的杆件与大地坐标系x轴正方向的逆时针夹角i＝1,2,3,j＝1,2…z；xm、ym分别表示点m在大地坐标系中的横坐标、纵坐标；xa、ya分别表示点a在大地坐标系中的横坐标、纵坐标；xb、yb分别表示点b在大地坐标系中的横坐标、纵坐标；
将第一rr约束杆件oe连接三角构件abe的那个转动关节记为点e，另一个转动关节记为点o；用e来表示点e在坐标系b2中的坐标；3r开链杆组处于z个精确位姿时，点e在大地坐标系中的坐标ej的表达式如式(2)所示；
ej＝[b2j]e,j＝1,2…z(2)
引入相对位移矩阵[r1j]如式(3)所示；
[r1j]＝[b2j][b21]-1,j＝1,2…z(3)
根据式(3)，式(2)变形为式(4)；
ej＝[r1j]e1,j＝1,2…z(4)
用l1表示第一rr约束杆件oe的杆长，得到约束方程组如方程组(5)所示；
([r1j]e1-o)·([r1j]e1-o)＝l12,j＝1,2…z(5)
方程组(5)中，使得e1＝(x,y,1)t,o＝(u,v,1)t；坐标(x,y),(u,v)分别表示第一rr约束杆件oe的两端转动关节在第一个精确位姿下的坐标；
方程组(5)中的z个方程消去未知的第一rr约束杆件oe的杆长l1之后就变成了z-1个方程；
步骤二所得3r开链杆组在精确到达第一个近似位姿时点b的坐标记为(s11,s21)；添加第一rr约束杆件oe后，点b在第一个近似位姿时的实际位置坐标记为b'(j11',j21')；a'、b'、c'、e'分别表示首端杆件ma转动至第一近似角度θ1'时，点a、b、c、e在所到达的实际位姿；添加第一rr约束杆件oe后第一个近似位姿的误差
j11'＝xm lmacos(θ1') labcos(2π-θ6'-θ5)(6)
j21'＝ym lmasin(θ1')-labsin(2π-θ6'-θ5)(7)
式(6)和(7)中，xm表示点m的横坐标；ym表示点m的纵坐标；θ1'表示步骤二所得3r开链杆组在精确到达第一个近似位姿时，首端杆件ma与大地坐标系x轴正方向的逆时针角度；θ6'表示边a'e'与大地坐标系x轴正方向的逆时针夹角；θ5表示三角构件abe内的边ab与边ae之间的夹角；lma为点m与a的距离；lab为点a与b的距离；
θ6'由点a'和点e'的坐标确定；建立方程组(8)：
方程组(8)中，xe'和ye'分别表示点e'的横坐标和纵坐标；xa'和ya'分别表示点a'的横坐标和纵坐标；xa和ya分别表示点a的横坐标和纵坐标；(x,y),(u,v)表示第一rr约束杆件oe两端转动关节在第一个精确位姿下的坐标；
根据方程组(8)，求解出的坐标e'(xe',ye')是包含(x,y,u,v)的表达式，使得θ6'由(x,y,u,v)决定；θ5的大小由余弦定理求出，如式(9)所示：
在式(9)中：lab、lae、lbe分别表示边ab、边ae、边be的长度，其中lab已知；lae表达式如式(10)所示；lbe表达式如式(11)所示：
在式(11)中，xb和yb分别表示点b在大地坐标系内的横坐标和纵坐标；至此，第一个近似位姿的误差e11用含有(x,y,u,v)的表达式进行表示；
同理，其余k-1个近似位姿的误差e12,e13…e1k也都用含有(x,y,u,v)的表达式进行表示；设定k个近似位姿的误差的阈值ηi，i＝1,2,…,k；从而得到k条不等式：e1i≤ηi；
将z-1个等式方程与k个不等式方程进行联立，如方程组(12)所示；
求解方程组(12)，获取一组(x,y,u,v)；(x,y,u,v)确定了第一rr约束杆件oe的位置；(u,v)即为第一rr约束杆件oe与机架的转动关节坐标；
步骤四：将末端杆件bc变形为三角构件bcd；将第一rr约束杆件oe变形为三角构件oef；添加第二rr约束杆件df；用坐标系b4来表示点o的姿态，用[b4j]j＝1,2…z表示在z个精确位姿下点o相对于大地坐标系的变换矩阵，表达式如式(13)所示：
式(13)中，θ4j,j＝1,2…z表示在第j个精确位姿下，第一rr约束杆件oe与大地坐标系x轴正方向的逆时针夹角；xo、yo分别表示点o的横坐标、纵坐标；
第二rr约束杆件df连接三角构件bcd的那个转动关节记为点d，连接三角构件oef的那个转动关节记为点f；用d来表示点d在坐标系b3中的坐标；用f来表示点f在坐标系b4中的坐标；第二rr约束杆件df的两个转动关节在大地坐标系下的z个位置坐标可以表示为式(14)；
式(14)中，dj表示点d在第j个精确位姿下大地坐标系内的坐标；fj表示点d在第j个精确位姿下大地坐标系内的坐标；
引入相对位移矩阵[t1j]和[v1j]如式(15)所示；
根据式(15)，式(14)变形为式(16)；
用l2表示第二rr约束杆件df的杆长，得到约束方程组(17)；
([v1j]f1-[t1j]d1)·([v1j]f1-[t1j]d1)＝l22,j＝1,2…z(17)
在方程组(17)中，使得d1＝(u',v',1)t,f1＝(x',y',1)t；坐标(u',v'),(x',y')分别表示第二rr约束杆件df两端转动关节在第一个精确位姿下的坐标；
方程组(17)中的z个方程消去未知的第二rr约束杆件df的杆长l2之后就变成了z-1个方程；
步骤二所得3r开链杆组在精确到达第一个近似位姿时点c的坐标记为(s12,s22)；添加第二rr约束杆件df后，点c在第一个近似位姿时的实际位置坐标记为(j12',j22')；d'、f'分别表示首端杆件ma转动至第一近似角度θ1'时，点d、f在所到达的实际位姿；添加第一rr约束杆件oe后第一个近似位姿的误差
式(18)和(19)中，j11'和j21'分别表示点b'在大地坐标系内的横坐标和纵坐标；α'表示边b'd'与大地坐标系x轴正方向的逆时针夹角；
α'由点b'和点d'确定，建立方程组(20)；
式(20)中，xd'和yd'分别表示点d'在大地坐标系内的横坐标和纵坐标；j11'和j21'分别表示点b'在大地坐标系内的横坐标和纵坐标；j11和j21表示点b在大地坐标系内的横坐标和纵坐标，xf'和yf'表示点f'在大地坐标系内的横坐标和纵坐标，其表达式如式(21)所示；
式(21)中，θ4'表示在第一个近似位姿下三角构件oe'f'中边oe'与大地坐标系x轴正方向的逆时针角度；β'表示边oe'与边of'的夹角；β表示在三角构件oef中边oe与边of的夹角；
式(21)中，β的余弦表达式如式(22)所示；
在式(22)中，loe、lof、lef分别表示三角构件oef中边oe、边of和边ef的长度；其中loe已知，
点f'(xf',yf')的坐标为含有(x',y')的表达式；点d'(xd',yd')的坐标为含有(x',y',u',v')的表达式；α'也是关于(x',y',u',v')的方程；
式(23)中，lbc、lbd和lcd分别表示三角构件bcd中边bc、边bd和边cd的长度，lbc已知；lbd表达式如式(24)所示；lcd表达式如式(25)所示：
式(25)中，j12、j22分别为点c的横坐标、纵坐标；
将根据式(17)所得的z-1个等式方程与k个不等式方程e2i≤η′i进行联立；选取一组(x',y',u',v')；(x',y',u',v')确定了第二rr约束杆件df的长度和位置。
2.根据权利要求1所述的一种混合位姿约束的单自由度六杆机构设计方法，其特征在于：步骤三中，求解(x,y,u,v)的方法如下：对(x,y,u,v)中的一个或多个未知数进行多次估计值赋值；将各个估计值分别代入方程组(12)，获得(x,y,u,v)的解域；从(x,y,u,v)的解域中，根据第一rr约束杆件oe在被设计装置中的位姿要求，选取一组(x,y,u,v)的值。
3.根据权利要求1所述的一种混合位姿约束的单自由度六杆机构设计方法，其特征在于：步骤四执行结束后，执行以下操作：根据首端杆件ma、三角构件abe、三角构件oef、三角构件bcd和第二rr约束杆件df的长度和位置，搭建三角构件bcd的外端(点c)能够按照符合目标轨迹要求运动的单自由度六杆机构。
技术总结